407. Орлов А.И., Жихарев В.Н. Законы больших чисел и состоятельность статистических оценок в пространствах произвольной природы. – В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. – Пермь: Изд-во Пермского государственного  университета, 1998. С.65-84.

УДК 519.2
В.Н.Жихарев, А.И.Орлов
г.Москва

ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
И СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК 
В ПРОСТРАНСТВАХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРИРОДЫ 1)

Введение
	Законы больших чисел состоят в том, что эмпирические средние сходятся к теоретическим. В классическом варианте: выборочное среднее арифметическое при определенных условиях сходится по вероятности при росте числа слагаемых к математическому ожиданию. На основе законов больших чисел обычно доказывают состоятельность различных статистических оценок. В целом эта тематика занимает заметное место в теории вероятностей и математической статистике. 
	Однако математический аппарат при этом основан на свойствах сумм случайных величин (векторов, элементов линейных пространств). Следовательно, он не пригоден для изучения вероятностных и статистических проблем, связанных со случайными объектами нечисловой природы. Это такие объекты, как бинарные отношения, нечеткие множества, вообще элементы пространств без векторной струтуры. Объекты нечисловой природы все чаще встречаются в прикладных исследованиях.  Много конкретных примеров приведено в обзорах [1,2,3]. Поэтому представляется полезным получение законов больших чисел в пространствах нечисловой природы. Необходимо решить следующие задачи.
	А) Определить понятие эмпирического среднего.
	Б) Определить понятие теоретического среднего.
	В) Ввести понятие сходимости эмпирических средних к теоретическому.
	Г) Доказать при тех или иных комплексах условий сходимость эмпирических средних к теоретическому.
	Д) Обобщив это доказательство, получить метод обоснования состоятельности различных статистических оценок.
	Е) Дать применения полученных результатов при решении конкретных задач.
	Рассматриваемой тематикой мы занимаемся с 70-х годов (первые ___________________________________________
	1) Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 97-06-80033).

результаты приведены в [4,5]). Однако только сейчас удалось получить доказательство закона больших чисел в естественных условиях. Ему и посвящено основное содержание настоящей статьи. При этом обобщаются соответствующие результаты работы [6]. Кроме того, мы приводим результаты компьютерного анализа множества эмпирических средних.
1. Определения средних величин 
	Пусть X - пространство произвольной природы, x1, x2, x3,...,xn - его элементы. Чтобы ввести эмпирическое среднее для x1, x2, x3,...,xn , будем использовать действительнозначную фунцию f(x,y) двух переменных со значениями в X. Другими словами, f: X2    R1 . Величина f(x,y) интерпретируется как показатель различия между x и y: чем f(x,y) больше, тем x и y сильнее различаются. В качестве f можно использовать расстояние в Х, квадрат расстояния и т.п. 
	Определение 1. Средней величиной для совокупности x1, x2, x3,...,xn (относительно меры различия f), обозначаемой любым из трех способов:
хср  = En(f) = En(x1, x2, x3,...,xn ; f) ,
называем решение оптимизационной задачи

	Это определение согласуется с классическим: если Х = R1, f(x,y) = (x - y)2, то хср - выборочное среднее арифметическое. Если же Х = R1 , f(x,y) = |x - y| , то при n = 2k + 1 имеем хср = x(k+1), при n= 2k эмпирическое среднее является отрезком [x(k), x(k+1)]. Здесь через x(i) обозначен i-ый член вариационного ряда, построенного по x1, x2, x3,...,xn , т.е. i-я порядковая статистика. Таким образом, при Х = R1 , f(x,y) =  x - y  решение задачи (1) дает естественное определение выборочной медианы, правда, несколько отличающееся от предлагаемого в курсах "Общей теории статистики", в котором при n= 2k медианой называют полусумму двух центральных членов вариационного ряда(x(k) + x(k+1)) / 2. Иногда x(k) называют левой медианой , а х(k+1) - правой медианой [4].
	Решением задачи (1) является множество En(f), которое может быть пустым, состоять из одного или многих элементов. Выше приведен пример, когда решением является отрезок. Если  Х = R1 \ {x0} , f(x,y) = (x - y)2 , а среднее арифметическое выборки равно x0 , то En(f) пусто. 
	При моделировании реальных ситуаций часто можно принять, что Х состоит из конечного числа элементов, а тогда En(f) непусто.
	 Понятия случайного элемента х = х(v) со значениями в Х, его распределения, независимости случайных элементов используем согласно справочнику Ю.В.Прохорова и Ю.А.Розанова [7]. Будем считать, что функция  f измерима относительно  s-алгебры, участвующей в определении случайного элемента х = х(v). Тогда f(x(v),y) при фиксированном y является действительнозначной случайной величиной. Предположим, что она имеет математическое ожидание.
	Определение 2. Теоретическим средним (математическим ожиданием) для случайного элемента х = х(v) относительно меры различия f, обозначаемом E(x,f), называется решение оптимизационной задачи 
		E f(x(v),y)       min.
		y  e X .
	Это определение также согласуется с классическим. Если Х = R1, f(x,y) = (x - y)2, то E(x,f) = E(x) - обычное математическое ожидание, при этом Ef(x(v),y) - дисперсия случайной величины х = х(v).  Если же Х = R1 , f(x,y) = |x - y| , то E(x,f) = [a,b], где a = sup{t: F(t)    0,5}, b = inf{t: F(t)    0,5}, причем F(t) - функция распределения случайной величины х = х(v). Если график F(t) имеет плоский участок на уровне F(t) = 0,5, то медиана - теоретическое среднее в смысле определения 2 - является отрезком. В классическом случае обычно говорят, что каждый элемент отрезка  [a,b] является одним из возможных значений медианы. Поскольку наличие указанного плоского участка - исключительный случай, то обычно решением задачи (2) является множество из одного элемента a = b - классическая медиана распределения случайной величины х = х(v). 
	Теоретическое среднее E(x,f) можно определить лишь тогда, когда Ef(x(v),y) существует при всех y  e X. Оно может быть пустым множеством, например, если Х = R1 \ {x0} , f(x,y) = (x - y)2 , x0 = E(x). И то, и другое исключается, если Х конечно. Однако и для конечных Х теоретическое среднее может состоять не из одного, а из многих элементов. Отметим, однако, что в множестве всех распределений вероятностей на Х подмножество тех распределений, для которых E(x,f) состоит более чем из одного элемента, имеет коразмерность 1, поэтому основной является ситуация, когда множество E(x,f) содержит единственный элемент [4].
2. Существование средних величин
	Под существованием средних величин будем понимать непустоту множеств решений соответствующих оптимизационных задач.
	Если Х состоит из конечного числа элементов, то минимум в задачах (1) и (2) берется по конечному множеству, а потому, как уже отмечалось, эмпирические и теоретические средние существуют. 
	Топологические термины и результаты будем использовать в соответствии с [8]. Так, топологическое пространство называется бикомпактным в том и только в том случае, когда из каждого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие [8,с.183].. 
	Теорема 1. Пусть Х - бикомпактное пространство, функция f непрерывна на Х2 (в топологии произведения). Тогда эмпирическое и теоретическое средние существуют.
	Доказательство. Функция f(xi,y) от y непрерывна, сумма непрерывных функций непрерывна, непрерывная функция на бикомпакте достигает своего минимума, откуда и следует заключение теоремы относительно эмпирического среднего. 
	Перейдем к теоретическому среднему. По теореиме Тихонова [8,с.194] из бикомпактности Х вытекает бикомпактность Х2. Для каждой точки (x,y) из Х2 рассмотрим e/2 - окрестность в Х2 в смысле показателя различия f, т.е. множество 

Поскольку f непрерывна, то множества U(x,y) открыты в рассматриваемой топологии в Х2 . По теореме Уоллеса [8, с.193] существуют открытые (в Х) множества V(x) и W(y), содержащие x и y соответственно и такие, что их декартово произведение V(x) x W(y) целиком содержится внутри U(x, y).
	Рассмотрим покрытие Х2 открытыми множествами V(x) x W(y). Из бикомпактности Х2 вытекает существование конечного подпокрытия {V(xi) x W(yi), i = 1,2,...,m}. Для каждого х из Х рассмотрим все декартовы произведения V(xi) x W(yi), куда входит точка (x, y) при каком-либо y. Таких декартовых произведений и их первых множителей V(xi) конечное число. Возьмем пересечение таких первых множителей V(xi) и обозначим его Z(x). Это пересечение открыто, как пересечение конечного числа открытых множеств, и содержит х. Из покрытия бикомпактного пространства X открытыми множествами Z(x) выберем открытое подпокрытие Z1, Z2, ..., Zk.
	Покажем, что если х1 и х2 принадлежат одному и тому же Zj при некотором j, то 
sup { | f(х1 , y) - f(х2 , y) | , y    X }  <      
Пусть Zj = Z(х0) при некотором х0 . Пусть V(xi) x W(yi), i   I, - совокупность всех тех исходных декартовых произведений из системы {V(xi) x W(yi), i = 1,2,...,m}, куда входят точки (х0 , y) при различных y . Покажем, что их объединение содержит также точки (х1 , y) и (х2 , y) при всех y . Действительно, если (х0 , y) входит в V(xi) x W(yi), то y входит в W(yi), а х1 и х2 вместе с х0 входят в V(xi), поскольку х1 , х2  и х0  входят в Z(х0). Таким образом, (х1 , y) и (х2 , y) принадлежат V(xi) x W(yi), а потому согласно определению V(xi) x W(yi)

откуда и следует неравенство  (   ). 
	Поскольку Х2 - бикомпактное пространство, то функция f ограничена на Х2 , а потому существует математическое ожидание E f(x(v),y) для лбого случайного элемента x(v), удовлетворяющего приведенным в предыдущем разделе условиям согласования топологии, связанной с f, и измеримости, связанной с x(v). Если  х1 и х2 принадлежат одному открытому множеству Zj , то 
| E f(х1 , y) - E f(х2 ,y) | <       ,
а потому функция 
g(y) = E f(x(v),y)          (  )
непрерывна на Х. Поскольку непрерывная функция на бикомпактном множестве достигает своего минимума, т.е. существуют такие точки z, на которых g(z) = inf { g(y), y   X}, то теорема 1 доказана. 
	В ряде интересных для приложений ситуаций Х не является бикомпактным пространством. Например, если Х = R1 . В этих случаях приходится наложить на показатель различия f некоторые ограничения, например, так, как это сделано в теореме 2.
	Теорема 2. Пусть Х - топологическое пространство, непрерывная (в топологии произведения) функция f: X2    R1 неотрицательна, симметрична (т.е. f(x,y) = f (y,x) для любых x и y из X), существует число D>0 такое, что при всех x,y,z из X 
f(x,y) < D { f(x,z) + f(z,y) } .
Пусть в Х существует точка х0  такая, что при любом положительном R множество{ x: f(x, х0) < R} является бикомпактным. Пусть для случайного элемента x(v), согласованного с топологией в рассмотренном выше смысле существует g(х0) = Ef(x(v), х0 ).
	Тогда существуют (т.е. непусты) математическое ожидание E(x,f) и эмпирические средние En(f).
	Замечание. Условие (  ) - некоторое обобщение неравенства треугольника. Например, если g - метрика в X, а f = gp при некотором натуральном p, то для  f выполнено соотношение (  ) с D = 2p. 
	Доказательство. Рассмотрим функцию g(y), определенную формулой (  ). Имеем
f(x(v),y) < D { f(x(v), х0) + f(х0,y) } .     (   )
Поскольку g(х0) существует, а потому конечно, то из (   ) следует существование и конечность g(y) при всех y из Х. Докажем непрерывность этой функции.
	Рассмотрим шар (в смысле меры различия f ) радиуса R с центром в х0: 
K(R) = { x : f(x, х0) < R} ,  R > 0. 
В соответствии с условием теоремы K(R) как подпространство топологического пространства Х является бикомпактным. Рассмотрим произвольную точку х из Х. Справедливо разложение

где     (С) - индикатор множества С. Следовательно,

Рассмотрим второе слагаемое в (  ). В силу (  )

Возьмем математическое ожидание от обеих частей (   ) :

В правой части (   ) оба слагаемых стремятся к 0 при при безграничном возрастании R : первое - в силу того, что 

второе - в силу того, что распределение x(v) сосредоточено на Х и 

Пусть U(x) - такая окрестность х (т.е. открытое множество, содержащее х), для которой
sup { f(y, x),  y      U(x) } <       
Имеем

В силу  (   ) и (   ) при безграничном возрастании R 

равномерно по y    U(x). Пусть R(0) таково, что левая часть (   ) меньше   > 0 при R > R(0) и, кроме того, y   U(x)     K(R(0)). Тогда при R > R(0) 

Нас интересует поведение правой части  (   ) при y   U(x). Рассмотрим f1 - сужение f на замыкание декартова произведения U(x) х K(R), и случайный элемент                                 Тогда

при y    U(x), а непрерывность                                           была доказана в теореме 1. Последнее означает, что существует окрестность U1(x) точки х такая, что 

при y       U1(x). Из (  ) и (   ) вытекает, что при

что и доказывает непрерывность функции g(x).
	Докажем существование математического ожидания E(x,f). Пусть R(0) таково, что 

Пусть H - некоторая константа, значение которой будет выбрано позже. Рассмотрим точку х  из множества                           - дополнения K(HR(0)), т.е. из внешности шара радиуса HR(0) с центром в х0 . Пусть                      Тогда имеем

откуда

Выбирая H достаточно большим, получим с учетом  (   ), что при
справедливо неравенство

Можно выбрать H так, чтобы правая часть (   ) превосходила g(х0) = Ef(x(v), х0). 
	Сказанное означает, что Argmin g(x) достаточно искать внутри бикомпактном множестве K(HR(0)). Из непрерывности функции g вытекает, что ее минимум достигается на указанном бикомпактном множестве, а потому - и на всем Х. Существование (непустота) теоретического среднего E(x,f) доказана. 
	Докажем существование эмпирического среднего En(f). Есть искушение проводить его дословно так же, как и доказательство существования математического ожидания E(x,f), лишь с заменой 1/2 в формуле (   ) на частоту попадания элементов выборки xi в шар K(R(0)), каковая, очевидно, стремится к вероятности попадания х = х(v) в K(R(0)), большей 1/2 в соответствии с (   ). Однако это рассуждение показывает лишь, что вероятность непустоты En(f) стремится к 1 при безграничном росте объема выборки. Точнее, оно показывает, что 

	Поэтому пойдем другим путем, не опирающемся к тому же на вероятностную модель выборки. Положим
R(1) = max { f(xi , x0 ) , i = 1,2,...,n }.  (   )
Если х входит в дополнение шара K(HR(1)), то аналогично (   ) имеем 

При достаточно большом H из (   ) и (   ) следует, что 

Следовательно, Argmin достаточно искать на K(HR(1)). Заключение теоремы 2 следует из того,что на бикомпактном пространстве K(HR(1)) минимизируется непрерывная функция.
	Теорема 2 полностью доказана.
3. О формулировках законов больших чисел
	Пусть х, x1, x2, x3,...,xn -  независимые одинаково распределенные случайные элементы со значениями в Х. Закон больших чисел - это утверждение о сходимости эмпирических средних к теоретическому при росте объема выборки n, т.е. утверждение о том, что 
		En(x1, x2, x3,...,xn ; f)             E(x,f)		(   )
при n            . Однако и слева, и справа в формуле (   ) стоят, вообще говоря, множества. Поэтому понятие сходимости в (  ) требует обсуждения и определения. 
	В силу классического закона больших чисел

в смысле сходимости по вероятности, если правая часть существует (теорема А.Я.Хинчина, 1923 г.).
	Если пространство Х состоит из конечного числа элементов, то из соотношения (   ) легко вытекает [4, с.192-193], что

Другими словами, хср является состоятельной оценкой E(x,f).
	Если E(x,f) состоит из одного элемента, E(x,f) = {x0} , то соотношение (  ) переходит в следующее:

	Однако с прикладной точки зрения доказательство соотношений (  )-(  ) не дает достаточно уверенности в возможности использования хср в качестве оценки E(x,f), поскольку в процессе доказательства объем выборки предполагается настолько большим, что при всех y  e X одновременно левые части соотношения (   ) сосредотачиваются в непересекающихся окрестностях правых частей.
	Замечание. Если в соотношении (  ) рассмотреть сходимость с вероятностью 1, то аналогично (  ) получим усиленный закон больших чисел [4, с.193-194], согласно которому с вероятностью 1 эмпирическое среднее хср входит в теоретическое среднее E(x,f), начиная с некоторого объема выборки n, вообще говоря, случайного, n = n(v). Мы не будем останавливаться на этом виде сходимости, поскольку в рассматриваемых постановках [4] нет принципиальных отличий от случая сходимости по вероятности.
	Если Х не является конечным, например, Х = R1 , то соотношения (  ) и ( ) неверны. Поэтому необходимо искать иные формулировки закона больших чисел. В классическом случае         E(x) можно записать закон больших чисел так: для любого     > 0 справедливо предельное соотношение

В этом соотношении в отличие от (   ) речь идет о попадании эмпирического среднего хср не непосредственно внутрь теоретического среднего E(x,f), а в некоторую окрестность теоретического среднего.
	Обобщим эту формулировку. Как задать окрестность теоретического среднего в пространстве произвольной природы? Естественно взять его окрестность, определенную с помощью какой-либо метрики. Однако полезно обеспечить на ее дополнении до Х отделенность множества значений Ef(x(   ),y) как функции y от минимума этой функции на всем Х.
	Поэтому мы сочли целесообразным определить такую окрестность с помощью самой функции Ef(x(   ),y).
	Определение 3. Для любого   > 0 назовем    -пяткой функции g(x) множество

	Таким образом, в   -пятку входят все те х, для которых значение g(x) либо минимально, либо отличается от минимального (или от инфимума) не более чем на     . Так, для X = R1 и функции g(x) = х2 минимум равен 0, а    - пятка имеет вид интервала                         . В формулировке (23) классического закона больших чисел утверждается, что при любом     > 0 вероятность попадания среднего арифметического в       -пятку математического ожидания стремится к 1. Поскольку    > 0 произвольно, то вместо      -пятки можно говорить о    -пятке, т.е. перейти от (23) к эквивалентной записи

Соотношение (24) допускает непосредственное обобщение на общий случай пространств произвольной природы.
	Закон больших чисел. Пусть х, x1, x2, x3,...,xn -  независимые одинаково распределенные случайные элементы со значениями в пространстве произвольной природы Х с показателем различия f: X2    R1 .  Пусть выполнены некоторые условия регулярности. Тогда для любого    > 0 справедливо предельное соотношение

	Аналогичным образом может быть сформулирована и общая идея усиленного закона больших чисел. В следующем разделе настоящей статьи приведены две конкретные формулировки "условий регулярности". 
4. Законы больших чисел
	Начнем с рассмотрения естественного обобщения конечного множества - бикомпактного пространства Х.
	Теорема 3. В условиях теоремы 1 справедливо соотношение (25).
	Доказательство. Воспользуемся построенным при доказательстве теоремы 1 конечным открытым покрытием {Z1, Z2, ..., Zk} пространства Х таким, что для него выполнено соотношение (3). Построим на его основе разбиение Х на непересекающиеся множества W1, W2, ..., Wm (объединение элементов разбиения W1, W2, ..., Wm составляет Х). Это можно сделать итеративно. На первом шаге из Z1 вычесть Z2, ..., Zk - это и будет W1 . Затем в качестве нового пространства рассмотреть разность Х и W1 , а покрытием его будет {Z2, ..., Zk} . И так до k-го шага, когда последнее из рассмотренных покрытий будет состоять из единственного открытого множества Zk . Остается из построенной последовательности W1, W2, ..., Wk вычеркнуть пустые множества, которые могли быть получены при осуществлении описанной процедуры (поэтому, вообще говоря, m может быть меньше k). 
	В каждом из элементов разбиение W1, W2, ..., Wm выберем по одной точке, которые назовем центрами разбиения и соответственно обозначим w1, w2, ..., wm. Это и есть то конечное множество, которым можно аппроксимировать бикомпактное пространство Х. Пусть y входит в Wi . Тогда из соотношения (3) вытекает, что

	Перейдем к доказательству соотношения (25). Возьмем произвольное  > 0. Рассмотрим некоторую точку b из E(x,f). Доказательство будет основано на том, что с вероятностью, стремящейся к 1, для любого y вне K  (E(x,f)) выполнено неравенство

Для обоснования этого неравенства рассмотрим все элементы разбиения  W1, W2, ..., Wm, имеющие непустое пересечение с внешностью   -пятки K  (E(x,f)). Из неравенства (26) следует, что для любого y вне K  (E(x,f)) левая часть неравенства (27) не меньше

где минимум берется по центрам всех элементов разбиения, имеющим непустое пересечение с внешностью   -пятки. Возьмем теперь в каждом таком разбиении точку vi , лежащую вне   -пятки K  (E(x,f)). Тогда из неравенств (3) и (28) следут, что левая часть неравенства (27) не меньше

	В силу закона больших чисел для действительнозначных случайных величин каждая из участвующих в соотношениях (27) и (29) средних арифметических имеет своими пределами соответствующие математические ожидания, причем в соотношении (29) эти пределы не менее

поскольку точки vi  лежат вне   -пятки K  (E(x,f)). Следовательно, при

и достаточно большом n, обеспечивающем необходимую близость рассматриваемого конечного числа средних арифметических к их математическим ожиданиям, справедливо неравенство (27).
	Из неравенства (27) следует, что пусто пересечение En(f) с внешностью K  (E(x,f)). При этом точка b может входить в En(f), а может и  не входить. Во втором случае En(f) состоит из иных точек, входящих в K  (E(x,f)). Теорема 3 доказана. 
	Если Х не является бикомпактным пространством, то необходимо суметь оценить рассматриваемые суммы "на периферии", вне бикомпактного ядра, которое обычно выделяется естественным путем. Один из возможных комплексов условий сформулирован выше в теореме 2.
	Теорема 4. В условиях теоремы 2 справедлив закон боьших чисел (25).
	Доказательство. Будем использовать обозначения, введенные в теореме 2 и при ее доказательстве. Пусть r и R, r < R, - положительные числа. Рассмотрим точку х в шаре K(r) и точку y вне шара K(R). Поскольку

то

Положим

Сравним                и                  . Выборку x1, x2, x3,...,xn разобъем на две части. В первую часть включим те элементы выборки, которые входят в K(r), во вторую - все остальные (т.е. лежахие вне K(r)). Множество индексов 
элементов первой части обозначим I = I(n,r). Тогда в силу неотрицательности f имеем

а в силу неравенства (30) 

где Card I(n,r) - число элементов в множестве индексов I(n,r). Следовательно, 

где J = Card I(n,r) - биномиальная случайная величина B(n,p) с вероятностью успеха p = P { x (     )    K(r) }. По теореме Хинчина для            справедлив (классический) закон больших чисел. Пусть    > 0. Выберем                   так, чтобы при             было выполнено соотношение 

где                        . Выберем r так, чтобы вероятность успеха p > 0,6. По теореме Бернулли можно выбрать                     так, чтобы при 

Выберем R так, чтобы

Тогда 

и согласно (31), (32) и (33) при                                          с вероятностью не менее
                   имеем

для любого y вне K(R). Из (34) следует, что минимизировать       достаточно внутри бикомпактного шара K(R), при этом En(f) не пусто и

с вероятностью не менее
	Пусть       и          - сужения        и g(x) = Ef(x(v), x) соответственно на K(R) как функций от х. В силу (    ) справедливо равенство                         . Согласно доказанной выше теореме 3 найдется                        такое, что 

Согласно (    ) с вероятностью не менее

при              . Следовательно, при                                                имеем

что и завершает доказательство теоремы 4. 
	Справедливы и иные варианты законов больших чисел, полученные, в частности, в [6] .
5.Асимптотическое поведение решений 
экстремальных статистических задач
	Если проанализировать приведенные выше постановки и результаты, особенно теоремы 1 и 3, то становится очевидной возможность их обобщения. Так, доказательства этих теорем практически не меняются, если считать, что функция f(x,y) определена на декартовом произведении бикомпактных пространств X и Y. Тогда можно считать, что элементы выборки лежат в Х, а Y - пространство параметров, подлежащих оценке. Пусть, например, выборка взята из распределения p(x,y). Если положить
f(x,y) = - ln p(x,y) ,
то задача нахождения эмпирического среднего переходит в задачу оценивания неизвестного параметра y методом максимального правдоподобия, а законы больших чисел переходят в утверждения о состоятельности этих оценок в случае пространств X и Y общего вида. В случае f(x,y) общего вида можно говрить об определении и состоятельности оценок минимального контраста. Частными случаями этих оценок являются, например, устойчивые(робастные) оценки Тьюки-Хубера, оценки параметров в задачах аппроксимации (параметрической регрессии) в пространствах произвольной природы. 
	Можно пойти и дальше в обобщении законов больших чисел. Пусть известно, что при каждом конкретном y при безграничном росте n (причем можно под n  понимать натуральное число, а можно рассматривать сходимость по фильтру в смысле Картана и Бурбаки [8, с.118]) 
fn(x(     ), y )           f(y).
В каких случаях и в каком смысле 
Argmin { fn(x(     ), y ), y   X }           Argmin { f(y), y   X } ? 
Поскольку основные задачи прикладной статистики можно представить в виде оптимизационных задач, то ответ на поставленный вопрос дает возможность единообразного подхода к изучению асимптотики решений разнообразных экстремальных статистических задач. Одна из возможных формулировок дана и обоснована в работах [1,5,6]. Она основана на использовании понятий асимптотической равномерной разбиваемости и координатной асимптотической равномерной разбиваемости. С ее помощью удается стандартным образом обосновывать состоятельность оценок параметров в основных задачах прикладной статистики. К сожалению, в настоящей статье нет возможности подробнее остановиться на проблеме оценивания.
	В рассматриваемой тематике есть необходимость в дальнейших исследованиях, связанных, в частности, с пространствами X и Y, не являющимися бикомпактными, а также с изучением скорости сходимости эмпирических средних к теоретическим.
6. Медиана Кемени и экспертные оценки
	Рассмотрим частный случай пространств нечисловой природы - пространство бинарных отношений на конечном множестве Q = {q1 , q2 ,..., qk }, и его подпространства. Как известно, каждое бинарное отношение А можно описать матрицей || a(i,j) || из 0 и 1, причем a(i,j) = 1 тогда и только тогда qi и qj находятся в отношении А, и a(i,j) = 0 в противном случае. 
	Определение 4. Расстоянием Кемени между бинарными отношениями А и В, описываемыми матрицами || a(i,j) || и || b(i,j) || соответственно, называется

	Замечание. Иногда в определение расстояния Кемени вводят множитель, зависящий от k.
	Указанное расстояние введено Дж.Кемени в 1950-х годах и получило в нашей стране известность благодаря монографии [9], в которой оно получено для упорядочений (т.е. ранжировок, в которых допускаются связи, или кластеризованных ранжировок) исходя из некоторой системы аксиом. Некоторое время казалось, что аксиоматический подход избавляет от субъективизма в выборе расстояния, а потому - от субъективизма в выборе способа усреднения  бинарных отношений. Монография [9] породила поток работ, в которых с помощью различных систем аксиом вводились те или иные расстояния в пространствах объектов нечисловой природы (в обзоре [10] на эту тему - 161 ссылка на соответствующие публикации). В итоге произвол в выборе метрик отодвинут на уровень произвола в выборе систем аксиом.
	Определение 5. Медианой Кемени для выборки, состоящей из бинарных отношений, называется эмпирическое среднее, построенное с помощью расстояния Кемени.
	Поскольку число бинарных отношений на конечном множестве конечно, то эмпирические и теоретические средние для произвольных показателей различия существуют и справедливы законы больших чисел, описанные формулами (21) и (22) выше. 
	Бинарные отношения, в частности, упорядочения, часто используются для описания мнений экспертов. Тогда расстояние Кемени измеряет близость мнений экспертов, а медиана Кемени позволяет находить итоговое усредненное мнение комиссии экспертов. Расчет медианы Кемени включен в математическое обеспечение автоматизированного рабочего места "Математика в экспертизе" (АРМ "МАТЭК"), предназначенного, в частности, для использования при проведении экспертиз в задачах экологического страхования [11]. Поэтому представляет большой практический интерес численное изучение свойств медианы Кемени при конечном объеме выборки.
7. Компьютерное изучение свойств медианы Кемени 
при конечных объемах выборок
	Проведен ряд серий численных экспериментов по изучению свойств выборочных медиан Кемени. Представление о полученных результатах дается приводимой ниже таблицей. В каждой серии методом статистических испытаний определенное число раз моделировался случайный и независимый выбор экспертных ранжировок, а затем находились все медианы Кемени для смоделированного набора мнений экспертов. При этом в сериях 1-5 распределение ответа эксперта предполагалось равномерным на множестве всех ранжировок, а в серии 6 это распределение являлось монотонным относительно расстояния Кеиени с некоторым центром [4, с.196], т.е. вероятность выбора определенной ранжировки убывала с увеличением расстояния Кемени этой ранжировки от центра. Таким образом,. серии 1-5 соответствуют ситуации, когда у экспертов нет почвы для согласия, нет группировки их мнений относительно некоторого единого среднего группового мнения, в то время как в серии 6 есть единое мнение - описанный выше центр, к которому тяготеют ответы экспертов. 
	Результаты, приведенные в таблице, можно комментировать разными способами. Неожиданным явилось большое число элементов в выборочной медиане Кемени - как среднее, так и особенно максимальное. Одновременно обращает на себя внимание убывание этих чисел при росте числа экспертов и особенно при переходе к ситуации реального существования группового мнения (серия 6). Достаточно часто один из ответов экспертов входит в медиану Кемени, а диаметр медианы как множества в пространстве ранжировок заметно меньше диаметра множества ответов экспертов. По этим показателям - наилучшее положение в серии 6. Грубо говоря, всяческие "патологии" в поведении медианы Кемени наиболее резко проявляются в ситуации, когда ее применение не имеет содержательного обоснования - у экспертов нет основы для согласия, их ответы равномерно распределены на множестве ранжировок.
	Увеличение числа испыьтаний в 10 раз при переходе от серии 1 к серии 5 не очень сильно повлияло на приведенные в таблице характеристики, поэтому представляется, что на первых этапах исследования вполне можно ограничиться числом испытаний 100 или даже 50. Увеличение числа объектов или экспертов увеличивает число элементов в рассматриваемом пространстве ранжировок, а потому уменьшается частота попадания какого-либо из мнений экспертов внутрь медианы Кемени, а также отношение диаметра медианы к диаметру множества экспертов, число элементов медианы Кемени (среднее и максимальное). Можно сказать, что увеличение числа объектов или экспертов уменьшает степень дискретности задачи, приближает ее к непрерывному случаю, а потому уменьшает выраженность различных "патологий".
	Некоторые интересные результаты, связанные, в частности, со сравнением медианы Кемени с нахождением итогового упорядочения по методу средних рангов, а также с использованием малых окрестностей ответов экспертов для поиска входящих в медиану ранжировок, не рассматриваются из-за ограниченности объема настоящей статьи.

Номер серии	1	2	3	4	5	6	
Число испытаний	100	1000	50	50	1000	1000	
Кол-во объектов	5	5	7	7	5	5	
Кол-во экспертов	10	30	10	30	10	10	
Частота непустого пересеч.	0,85	0,58	0,52	0,2	0,786	0,911	
Среднее отнош-ие диам-ров	0.283	0,124	0,191	0,0892	0,202	0.0437	
Средняя мощность медианы	5,04	2,41	6,4	2,88	3,51	1,35	
Максим. мощность медианы	30	14	19	11	40	12	

8. Заключение
	Приведенные выше результаты могут быть использованы в научной работе и преподавании, а также для разработки и обоснования прикладных алгоритмов анализа реальных статистических данных, в том числе экспертных. Вместе с тем  целесообразно дальнейшее развитие теоретических и численных исследований, связанных, в частности, с оценкой скорости сходимости в законах больших чисел. В данной статье мы не ставили целью составление обзора литературных источников по рассматриваемой тематике, поскольку это сделано в публикациях [1-4, 11]. Теоретические результаты в данной статье получены А.И.Орловым, численные - В.Н.Жихаревым.  

Библиографический список
1. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы // Заводская лаборатория. 1990. Т.56. № 3. С.76-83.
2. Орлов А.И. Объекты нечисловой природы // Заводская лаборатория. 1995. Т.61. № 3. С. 43-52.
3. Орлов А.И. Вероятностные модели конкретных видов объектов нечисловой природы // Заводская лаборатория. 1995. Т.61. № 5. С. 43-51.
4. Орлов А.И.Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. - 296 с.
5. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы // Теория вероятностей и ее применения. 1980. Т.XXV. №  3. С.655-656.  
6. Орлов А.И. Асимптотика решений экстремальных статистических задач // Анализ нечисловых данных в системных исследованиях. Сборник трудов. Вып.10. - М.: Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований, 1982. С. 4-12.
7. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы). - М.: Наука, 1973.- 496 с.  
8. Келли Дж. Общая топология. - М.: Наука, 1968. - 384 с.
9. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование. Некоторые приложения. - М.: Советское радио, 1972. - 192 с.
10. Раушенбах Г.В. Меры близости и сходства // Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях / Под ред. В.Г.Андреенкова, А.И.Ордлова, Ю.Н.Толстовой. - М.: Наука, 1985. - С. 169- 203. 
11. Орлов А.И., Горский В. Г., Жихарев В. Н., Цупин В. А., Степочкин А.Н., Васюкевич В. А. Экспертные оценки: современное состояние и перспективы использования в задачах экологического страхования. - Труды Второй Всероссийской конференции "Теория и практика экологического страхования". - М.: Ин-т проблем рынка РАН, 1996, с.20-23.